2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 - 高中数学动画互动课程

第二章 · 第三节

二次函数与一元二次方程、不等式

三个二次的关系 · 判别式Δ · 不等式解法

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解二次函数、方程、不等式的内在联系
掌握判别式 Δ 对根的影响
会解一元二次不等式
能结合图象确定不等式解集

知识点一：三个二次的关系

二次函数与方程

二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0），方程 ax²+bx+c=0 的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标。判别式 Δ=b²−4ac 决定根的情况。

Δ>0

两个不等根

x₁,x₂ (x₁<x₂)

Δ=0

两个相等根

x₁=x₂

Δ<0

无实数根

无交点

知识点二：一元二次不等式解法

a>0 时的解集（设 x₁<x₂）

Δ>0：ax²+bx+c>0 解集 {x | x<x₁ 或 x>x₂}；≤0 解集 {x | x₁≤x≤x₂}
Δ=0：>0 解集 {x | x≠x₁}；≤0 解集 {x₁}
Δ<0：>0 解集 R；≤0 解集 ∅

解法步骤

① 化为标准形式（二次项系数 a>0）
② 求 Δ，解方程 ax²+bx+c=0 的根
③ 结合图象（开口向上）写出解集
④ 口诀："大于取两边，小于取中间"

🎬 动画讲解

📢

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🧪 互动实验：二次函数与不等式

💡 调节参数 a、b、c，观察抛物线、判别式 Δ 与不等式 ax²+bx+c>0 解集

⚙ y = ax² + bx + c

a 1.0

b -1.0

c -2.0

判别式 Δ9.0

根的情况两根 -1, 2

y>0 解集x<-1或x>2

📋 实验结论

a>0 开口向上时，y>0 对应图象在 x 轴上方的部分（两根之外），即"大于取两边"；y<0 对应两根之间，即"小于取中间"。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1解不等式

解不等式 x²−x−6>0。

🔍 解题过程

1a=1>0，Δ=(−1)²−4×1×(−6)=25>0。

2解方程 x²−x−6=0：(x−3)(x+2)=0，x=−2 或 x=3。

✅ 开口向上，>0 取两边：解集 {x | x<−2 或 x>3}。

例题 2Δ<0 情形

解不等式 x²+2x+3<0。

🔍 解题过程

1a=1>0，Δ=2²−4×1×3=4−12=−8<0，无实数根。

2抛物线开口向上且与 x 轴无交点，恒在 x 轴上方，y 始终>0。

✅ y<0 无解，解集为 ∅。

🚀 拓展提升

三个"二次"的统一

二次函数 y=ax²+bx+c 是核心：方程 y=0 求根，不等式 y>0 或 y<0 求解集。三者通过函数图象（与 x 轴的关系）统一起来。

含参不等式

对含参数的一元二次不等式，常需对 a 的正负、Δ 的正负分类讨论。注意 a=0 时退化为一次不等式的情况。

恒成立问题

ax²+bx+c>0 恒成立 ⟺ a>0 且 Δ<0
ax²+bx+c<0 恒成立 ⟺ a<0 且 Δ<0
需注意 a=0 退化情形

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题★☆☆ 基础

不等式 x²−4>0 的解集是？

A{x | −2<x<2}

B{x | x<−2 或 x>2}

D∅

第 2 题★☆☆ 基础

不等式 x²−5x+6≤0 的解集是（方程根为 2、3）？

A{x | 2≤x≤3}

B{x | x≤2 或 x≥3}

C{x | 2<x<3}

D∅

第 3 题★★☆ 巩固

不等式 x²+1>0 的解集是？

B∅

C{x | x>1}

D{x | x≠0}

第 4 题★★☆ 巩固

若不等式 x²+mx+1>0 恒成立，则 m 的取值范围是？

Am>2

B−2<m<2

Cm<−2

Dm∈R

第 5 题★★★ 拓展

解不等式 x²−5x−6<0（写出解集）。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

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课程完成！

恭喜你完成了「二次函数与一元二次方程、不等式」的学习！也完成了第二章全部内容！

📌 核心要点：
① 判别式 Δ=b²−4ac 决定根的个数
② Δ>0两根，Δ=0重根，Δ<0无根
③ a>0 时：>0 取两边，<0 取中间
④ 三个"二次"通过函数图象统一
⑤ 恒成立：a>0 且 Δ<0