3.1 函数的概念及其表示 - 高中数学动画互动课程

第三章 · 第一节

函数的概念及其表示

定义域与值域 · 对应关系 · 区间 · 分段函数

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解函数的概念及三要素
掌握区间的表示方法
会求简单函数的定义域和值域
了解分段函数及其表示

知识点一：函数的概念

函数的定义

设 A、B 是非空数集，如果对集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，就称 f: A→B 为从 A 到 B 的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A。

函数的三要素

定义域 A：自变量 x 的取值范围
对应关系 f：x 到 y 的法则
值域 {f(x)|x∈A}⊆B：函数值的集合

知识点二：区间

区间表示

设 a、b∈R 且 a<b：开区间 (a,b)={x|a<x<b}；闭区间 [a,b]={x|a≤x≤b}；半开半闭 [a,b)、(a,b]。无穷用 ∞，如 [a,+∞)、(−∞,b)。

知识点三：函数的表示法与分段函数

三种表示法

解析法：用数学表达式表示，如 y=x²+1
列表法：列出表格对应 x 与 y
图象法：用图象直观表示

分段函数

在定义域的不同部分，有不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。如绝对值函数、出租车计费等。

定义域

自变量范围

对应关系

x→y的法则

值域

{f(x)}

函数值集合

🎬 动画讲解

📢

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🧪 互动实验：定义域与值域

💡 调节定义域范围 [a, b]，观察函数 y=x² 的图象和值域变化

⚙ y = x²，定义域 [a, b]

左端点 a -2.0

右端点 b 3.0

定义域[-2, 3]

最小值0

最大值9

值域[0, 9]

📋 实验结论

定义域决定自变量范围，值域由定义域和对应关系共同决定。y=x² 在含 0 的区间上最小值为 0，最大值在较远的端点取得。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1求定义域

求函数 f(x)=√(x−1) + 1/(x−2) 的定义域。

🔍 解题过程

1根号内非负：x−1≥0 ⟹ x≥1。

2分母不为零：x−2≠0 ⟹ x≠2。

✅ 定义域为 {x | x≥1 且 x≠2}，即 [1,2)∪(2,+∞)。

例题 2分段函数求值

设 f(x)={x+1, x≤0; x², x>0}，求 f(−2) 和 f(3)。

🔍 解题过程

1−2≤0，用第一段：f(−2)=−2+1=−1。

23>0，用第二段：f(3)=3²=9。

✅ f(−2)=−1，f(3)=9。

🚀 拓展提升

函数相等的条件

两个函数相等当且仅当定义域相同且对应关系相同（值域自然相同）。如 y=x 与 y=√(x²) 定义域不同，不是同一函数。

定义域的常见限制

分式：分母不为零
偶次根式：被开方式非负
实际问题：符合实际意义
零次幂：底数不为零

同一函数的辨析

y=x、y=(√x)²、y=³√x³ 表面不同，但需看定义域与对应关系是否一致。如 y=(√x)² 定义域为 x≥0，与 y=x 不同。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题★☆☆ 基础

函数 f(x)=1/(x−3) 的定义域是？

B{x | x≠3}

C{x | x>3}

D{x | x<3}

第 2 题★☆☆ 基础

函数 y=√(x−2) 的定义域是？

A{x | x≥2}

B{x | x>2}

C{x | x≤2}

第 3 题★★☆ 巩固

下列与 y=x 是同一函数的是？

Ay=(√x)²

By=³√x³

Cy=|x|

Dy=x²

第 4 题★★☆ 巩固

设 f(x)={2x, x≤1; x+1, x>1}，则 f(2)=？

第 5 题★★★ 拓展

函数 f(x)=√(4−x²) 的定义域用区间表示为？

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

课程完成！

恭喜你完成了「函数的概念及其表示」的学习！

📌 核心要点：
① 函数三要素：定义域、对应关系、值域
② 对每个x有唯一确定的y与之对应
③ 区间：(a,b)、[a,b]、[a,b)、(−∞,b] 等
④ 表示法：解析法、列表法、图象法
⑤ 求定义域：分母≠0、偶次根号≥0