3.3 幂函数 - 高中数学动画互动课程

第三章 · 第三节

幂函数

y = x^α · 五种幂函数图象 · 幂函数性质

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解幂函数的概念
掌握五个常见幂函数的图象与性质
理解幂函数随指数变化的规律
会运用幂函数性质比较大小

知识点一：幂函数的概念

幂函数定义

形如 y = x^α 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。

注意区分

幂函数 y=x^α：底数是自变量，指数是常数
指数函数 y=a^x：底数是常数，指数是自变量
如 y=x² 是幂函数，y=2^x 是指数函数

知识点二：五个常见幂函数

α=1

y=x

奇函数，递增

α=2

y=x²

偶函数

α=3

y=x³

奇函数，递增

α=1/2

y=√x

x≥0，递增

α=−1

y=1/x

奇函数

知识点三：幂函数的性质

共同性质

所有幂函数图象都过点 (1,1)
α>0 时，图象过 (0,0)，在 [0,+∞) 递增
α<0 时，图象不过 (0,0)，在 (0,+∞) 递减
第一象限内：α 越大，图象越"靠上"（x>1 时）

第一象限图象规律

在第一象限，当 x>1 时，α 越大图象越靠上；当 0<x<1 时，α 越大图象越靠下。所有图象交于点 (1,1)。

🎬 动画讲解

📢

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🧪 互动实验：幂函数图象探究

💡 调节指数 α，观察 y=x^α 在第一象限的图象变化及关键点

⚙ y = x^α

指数 α 2.0

函数y=x²

过(1,1)是

x>0单调性递增

过(0,0)是

📋 实验结论

所有幂函数图象都过 (1,1)。α>0 时在第一象限递增且过 (0,0)；α<0 时递减且不过 (0,0)。α 越大，x>1 时图象越靠上。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1识别幂函数

下列函数是幂函数的是？① y=x² ② y=2^x ③ y=x^(−1) ④ y=2x²

🔍 解题过程

1幂函数形如 y=x^α，底数为 x，指数为常数。① y=x² 符合；③ y=1/x=x^(−1) 符合。

2② y=2^x 是指数函数；④ y=2x² 系数不是 1，不是幂函数。

✅ 幂函数是 ① y=x² 和 ③ y=x^(−1)。

例题 2比较大小

比较 1.5^(0.5) 与 1.7^(0.5) 的大小。

🔍 解题过程

1考查幂函数 y=x^(0.5)=√x，α=0.5>0，在 [0,+∞) 单调递增。

2因 1.5<1.7，由单调性 1.5^(0.5)<1.7^(0.5)。

✅ 1.5^(0.5) < 1.7^(0.5)。

🚀 拓展提升

幂函数与指数函数的区别

y=x^α（幂函数）底数为变量、指数为常数；y=a^x（指数函数）底数为常数、指数为变量。两者形式相似但本质不同。

利用幂函数比较大小

同指数不同底数：用幂函数单调性
同底数不同指数：用指数函数单调性
α>0 时 x^α 在 [0,+∞) 递增
α<0 时 x^α 在 (0,+∞) 递减

幂函数的奇偶性

当 α 为整数时：α 为偶数则偶函数，α 为奇数则奇函数。α 为分数时需具体分析定义域。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题★☆☆ 基础

下列是幂函数的是？

Ay=2^x

By=x³

Cy=2x²

Dy=x+1

第 2 题★☆☆ 基础

幂函数 y=x^α 的图象必过哪个点？

A(0,0)

B(1,1)

C(0,1)

D(1,0)

第 3 题★★☆ 巩固

幂函数 y=x^(−1)=1/x 的定义域是？

B{x | x≠0}

C{x | x>0}

D{x | x≥0}

第 4 题★★☆ 巩固

已知幂函数 y=x^α 在 (0,+∞) 单调递减，则 α 可能是？

B−1

D1/2

第 5 题★★★ 拓展

比较 0.5^(−1) 与 0.3^(−1) 的大小。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

课程完成！

恭喜你完成了「幂函数」的学习！

📌 核心要点：
① 幂函数：y=x^α，底数为变量，指数为常数
② 所有幂函数图象都过 (1,1)
③ α>0：过(0,0)，第一象限递增
④ α<0：不过(0,0)，第一象限递减
⑤ 比较大小利用单调性