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第五章 · 第四节
三角函数的图象与性质
正弦余弦正切曲线 · 周期性 · 奇偶性 · 单调性

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握正弦、余弦、正切函数的图象
  • 理解三角函数的周期性
  • 掌握三角函数的奇偶性和单调性
知识点一：正弦函数 y=sin x
定义域
R
全体实数
值域
[−1,1]
最大1最小-1
周期
2π
最小正周期
奇偶性
奇函数
sin(-x)=-sinx
正弦函数性质
单调递增：[−π/2+2kπ, π/2+2kπ]；单调递减：[π/2+2kπ, 3π/2+2kπ]
对称轴：x=π/2+kπ；对称中心：(kπ, 0)
知识点二：余弦函数 y=cos x
余弦函数性质
定义域R，值域[−1,1]，周期2π，偶函数。单调递增：[π+2kπ, 2π+2kπ]；单调递减：[2kπ, π+2kπ]。对称轴：x=kπ。
知识点三：正切函数 y=tan x
正切函数性质
定义域：{x|x≠π/2+kπ}，值域R，周期π，奇函数。单调递增区间：(−π/2+kπ, π/2+kπ)。
知识点四：周期函数
周期公式
y=sin(ωx) 和 y=cos(ωx) 周期 T=2π/|ω|；y=tan(ωx) 周期 T=π/|ω|。

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：三角函数图象对比

💡 切换不同三角函数，观察图象特征
⚙ 函数选择
周期2π
值域[-1,1]
奇偶性奇函数
📋 实验结论
正弦余弦周期2π值域[-1,1]；正切周期π值域R。正弦正切奇函数，余弦偶函数。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1求周期
求 y=sin(2x) 的周期。
🔍 解题过程
1y=sin(ωx) 周期为 2π/|ω|。
2ω=2，周期 T=2π/2=π。
✅ 周期为 π。
例题 2求单调区间
求 y=cos x 的单调递减区间。
🔍 解题过程
1y=cos x 在 [0,π] 单调递减。
2由周期性，单调递减区间为 [2kπ, π+2kπ]（k∈Z）。
✅ [2kπ, π+2kπ]（k∈Z）。

🚀 拓展提升

五点法画图

画 y=sin x 在 [0,2π] 上的图象，取五个关键点：(0,0), (π/2,1), (π,0), (3π/2,−1), (2π,0)。

三角函数图象变换

  • y=sin(x+φ)：左移φ（φ>0）
  • y=A·sinx：纵坐标变为A倍
  • y=sin(ωx)：横坐标变为1/ω倍

正切函数的渐近线

正切函数在 x=π/2+kπ 处无定义，这些位置是垂直渐近线。图象在相邻渐近线间单调递增。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
y=sin x 的周期是？
Aπ
B2π
Cπ/2
D4π
第 2 题★☆☆ 基础
y=tan x 的周期是？
Aπ
B2π
Cπ/2
D4π
第 3 题★★☆ 巩固
y=cos x 是什么函数？
A奇函数
B偶函数
C非奇非偶
D既奇又偶
第 4 题★★☆ 巩固
y=sin(2x) 的周期是？
Aπ
B2π
Cπ/2
D4π
第 5 题★★★ 拓展
y=sin(3x) 的周期是多少？（用π表示）

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「三角函数的图象与性质」的学习！

📌 核心要点：
① y=sinx：定义域R，值域[-1,1]，周期2π，奇函数
② y=cosx：定义域R，值域[-1,1]，周期2π，偶函数
③ y=tanx：定义域x≠π/2+kπ，值域R，周期π，奇函数
④ y=sin(ωx)周期=2π/|ω|
⑤ 五点法画图