← 课程目录 第6章 平面向量及其应用 > 6.2 平面向量的运算
第6章 · 第2节
平面向量的运算
向量加法 · 向量减法 · 向量数乘

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则
  • 理解向量加法的运算律（交换律、结合律）
  • 掌握向量减法的定义和几何意义
  • 掌握向量数乘运算及其几何意义
知识点一：向量加法
📐 三角形法则
向量加法的三角形法则：已知向量 a, b，任取一点 A，作 AB→ = a，BC→ = b，则 AC→ = a + b。即首尾相接，从第一个起点到最后一个终点。
📐 平行四边形法则
以同一点 A 为起点的两个向量 AB→ = a, AD→ = b，以 AB, AD 为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线 AC→ = a + b。
知识点二：加法运算律
💡 运算律
  • 交换律：a + b = b + a
  • 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
  • a + 0 = 0 + a = a
  • |a + b| ≤ |a| + |b|（三角形不等式）
知识点三：向量减法
🔍 向量减法
相反向量：与向量 a 长度相等、方向相反的向量，记作 -a。
向量减法：a - b = a + (-b)。
几何意义：以同一点为起点作 a, b，则 a - b = BA→（从减向量终点指向被减向量终点）。
知识点四：向量数乘
⚖️ 数乘运算
实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 是一个向量：
① 模：|λa| = |λ| · |a|
② 方向：λ > 0 时同向；λ < 0 时反向；λ = 0 时 λa = 0
💡 运算律
  • λ(μa) = (λμ)a
  • (λ + μ)a = λa + μa
  • λ(a + b) = λa + λb
  • 共线定理：b = λa ⟺ a∥b (a≠0)

🎬 动画讲解

📢
点击「播放动画」按钮开始学习...

🧪 互动实验：向量加减法可视化

💡 调节向量a和b的模长和方向角，观察a+b、a-b的变化
⚙️ 实验参数
|a+b|4.24
|a-b|4.24
📋 实验结论
调节向量的模和方向角，a+b遵循三角形/平行四边形法则，a-b是从b终点指向a终点。当a⊥b时，|a+b| = |a-b|。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1向量加法计算
化简：AB→ + BC→ + CD→ = ?
🔍 解题过程
1分析：利用三角形法则，首尾相接的向量相加，结果是从第一个起点到最后一个终点的向量。
2计算：AB→ + BC→ = AC→（A到C），再 AC→ + CD→ = AD→（A到D）。
✅ AB→ + BC→ + CD→ = AD→。首尾相接的向量之和等于从起点到终点的向量。
例题 2向量数乘与共线
已知 a, b 不共线，且 xa + yb = 3a - 2b，求 x, y。
🔍 解题过程
1分析：由于a, b不共线，根据向量线性组合的唯一性，对应系数相等。
2结论：x = 3, y = -2。
✅ x = 3, y = -2。不共线向量的线性组合唯一，对应系数相等。

🚀 拓展提升

🔍 三角形法则与平行四边形法则

两种法则本质相同：三角形法则适用于首尾相接，平行四边形法则适用于同起点。

  • 三角形法则：首尾相接，起点到终点
  • 平行四边形法则：同起点，对角线
  • 两者结果完全相同

💡 向量数乘的几何意义

  • λa 表示与 a 平行（共线）的向量
  • λ > 1：伸长同向
  • 0 < λ < 1：缩短同向
  • λ < 0：反方向

📐 共线向量定理

向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当存在唯一实数 λ 使 b = λa。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
向量加法满足下列哪个运算律？
Aa + b = b + a
Ba + b = a - b
Ca + b = 2a
Da + b = 2b
第 2 题★☆☆ 基础
化简 AB→ + BC→ = ?
AAC→
BCA→
CBA→
DCB→
第 3 题★★☆ 巩固
已知 |a|=3, |b|=4, a⊥b，则 |a+b| = ?
A5
B7
C1
D12
第 4 题★★☆ 巩固
2(a+b) - 3(a-b) = ?
A-a+5b
B5a+b
Ca-b
D-a-5b
第 5 题★★★ 拓展
已知 |a|=5，则 |-3a| = ?

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「6.2 平面向量的运算」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 加法：三角形/平行四边形法则
② 减法：a-b=a+(-b)
③ 数乘：|λa|=|λ|·|a|
④ 共线定理：b=λa