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第6章 · 第3节
平面向量基本定理及坐标表示
基本定理 · 坐标表示 · 坐标运算

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解平面向量基本定理及其意义
  • 掌握平面向量的正交分解及坐标表示
  • 掌握平面向量的坐标运算
  • 理解用坐标表示向量共线的条件
知识点一：平面向量基本定理
📐 基本定理
如果 e₁, e₂ 是同一平面内两个不共线向量，那么对于平面内任意向量 a，有且只有一对实数 λ₁, λ₂，使 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。不共线的 e₁, e₂ 叫做一组基底。
💡 注意
  • 基底不唯一，任意两个不共线向量都可作为基底
  • λ₁, λ₂ 唯一确定
  • 零向量不能作为基底
  • 两个不共线向量才能构成基底
知识点二：正交分解及坐标表示
🔍 正交分解
把向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解。在直角坐标系中，取x轴、y轴方向的单位向量 i, j 作为基底。
🔍 坐标表示
向量 a = xi + yj，记作 a = (x, y)。
若 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)，则 AB→ = (x₂-x₁, y₂-y₁)。
知识点三：坐标运算
⚖️ 坐标运算
设 a=(x₁,y₁), b=(x₂,y₂)：
① 加法：a+b = (x₁+x₂, y₁+y₂)
② 减法：a-b = (x₁-x₂, y₁-y₂)
③ 数乘：λa = (λx₁, λy₁)
④ 模：|a| = √(x₁²+y₁²)
💡 共线条件
  • a∥b (b≠0) ⟺ x₁y₂ - x₂y₁ = 0
  • 即 x₁/x₂ = y₁/y₂ (x₂,y₂≠0)
  • 这是用坐标判断向量共线的方法

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：向量坐标运算

💡 调节向量a和b的坐标，观察加减和数乘的结果
⚙️ 实验参数
a + b(4, 6)
a - b(2, -2)
|a|3.61
a ∥ b ?否
📋 实验结论
改变向量坐标，a+b和a-b的坐标分别对应加减。|a| = √(x²+y²)。当 x₁y₂ - x₂y₁ = 0 时两向量共线。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1坐标运算
已知 a=(1,2), b=(3,-1)，求 a+b, a-b, 2a-3b。
🔍 解题过程
1求和：a+b = (1+3, 2+(-1)) = (4, 1)。对应坐标相加。
2求差：a-b = (1-3, 2-(-1)) = (-2, 3)。
3求数乘：2a=(2,4), 3b=(9,-3), 2a-3b = (2-9, 4-(-3)) = (-7, 7)。
✅ a+b=(4,1)，a-b=(-2,3)，2a-3b=(-7,7)。
例题 2共线判断
已知 a=(2,3), b=(4,6)，判断 a, b 是否共线。
🔍 解题过程
1方法：用共线条件 x₁y₂ - x₂y₁ = 0 判断。
2计算：2×6 - 4×3 = 12 - 12 = 0。
3结论：因为x₁y₂-x₂y₁=0，所以a∥b。实际上b=2a。
✅ a与b共线。因为2×6-4×3=0，满足共线条件，b=2a。

🚀 拓展提升

🔍 平面向量基本定理的理解

  • 基底：两个不共线的向量
  • 平面内任一向量都可唯一表示为基底的线性组合
  • 基底不唯一，但同一基底下表示唯一
  • 正交分解是基底取互相垂直单位向量的特例

💡 坐标表示的优越性

将几何问题转化为代数运算，使向量运算更加简洁高效。

📐 中点坐标公式

若A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)，则AB中点M的坐标为 M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
已知 a=(2,3), b=(1,-2)，则 a+b = ?
A(3,1)
B(1,5)
C(2,-6)
D(3,-1)
第 2 题★☆☆ 基础
已知 a=(3,4)，则 |a| = ?
A5
B7
C1
D25
第 3 题★★☆ 巩固
下列哪组向量可作为基底？
A(1,0),(0,1)
B(1,1),(2,2)
C(0,0),(1,1)
D(1,2),(2,4)
第 4 题★★☆ 巩固
已知 a=(1,2), b=(2,4)，则 a与b的关系？
A共线
B垂直
C不共线不垂直
D相等
第 5 题★★★ 拓展
已知 A(1,2), B(4,6)，则 |AB→| = ?

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「6.3 平面向量基本定理及坐标表示」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 基本定理：a=λ₁e₁+λ₂e₂
② 坐标：a=(x,y)
③ 运算：对应坐标加减
④ 模：|a|=√(x²+y²)
⑤ 共线：x₁y₂-x₂y₁=0