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第二章 · 第三节
直线的交点坐标与距离公式
交点坐标 · 点到直线距离 · 平行线距离

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握用方程组求两直线交点坐标的方法
  • 掌握点到直线的距离公式
  • 掌握两条平行直线间的距离公式
  • 能综合应用距离公式解决相关问题
知识点一：两条直线的交点坐标
📐 交点坐标的求法
设两条直线方程为：
l₁：A₁x + B₁y + C₁ = 0
l₂：A₂x + B₂y + C₂ = 0
则两条直线的交点坐标就是方程组 {A₁x+B₁y+C₁=0, A₂x+B₂y+C₂=0} 的解。
💡 交点情况讨论
  • 方程组有唯一解：两直线相交（有一个交点）
  • 方程组无解：两直线平行（无交点）
  • 方程组有无数解：两直线重合
  • 用 A₁B₂ − A₂B₁ 是否为0判断是否有唯一交点
知识点二：点到直线的距离
📏 点到直线的距离公式
点 P(x₀, y₀) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离：
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
d
点到直线距离
|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
P(x₀,y₀)
点的坐标
平面内任一点
知识点三：两条平行线间的距离
📏 平行线距离公式
两条平行直线 Ax + By + C₁ = 0 与 Ax + By + C₂ = 0 间的距离：
d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)
注意：两直线的一般式中 x, y 的系数必须相同（化为相同系数后才能用此公式）。
💡 使用注意
  • 点到直线距离公式中，直线必须化为一般式
  • 距离公式中分母 √(A²+B²) 是法化因子
  • 平行线距离公式要求 A、B 系数相同
  • 若系数不同，先化成相同再代入公式

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：点到直线距离

💡 拖动滑块改变点 P 的坐标，观察点 P 到直线 3x+4y−5=0 的距离变化
⚙️ 点 P 坐标
直线方程3x+4y−5=0
分子 |3x+4y−5|10.0
距离 d2.00
📋 实验结论
点 P(x₀,y₀) 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d = |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)。当点在直线上时距离为0；点离直线越远，分子绝对值越大，距离越大。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1求交点坐标
求直线 l₁：x + y − 3 = 0 与 l₂：x − y − 1 = 0 的交点坐标。
🔍 解题过程
1列方程组：{x + y = 3, x − y = 1}。
2求解：两式相加得 2x = 4，x = 2；代入得 y = 1。
3结论：交点坐标为 (2, 1)。
✅ 两直线交点为 (2, 1)。
例题 2点到直线距离
求点 P(1, 2) 到直线 3x + 4y − 5 = 0 的距离。
🔍 解题过程
1代入公式：d = |3×1 + 4×2 − 5| / √(3² + 4²)。
2计算分子：|3 + 8 − 5| = |6| = 6。
3计算分母：√(9 + 16) = √25 = 5。d = 6/5 = 1.2。
✅ 点 P 到直线的距离为 6/5 = 1.2。

🚀 拓展提升

🔍 距离公式的几何意义

点到直线的距离是点到直线的最短距离（垂线段长度）。

  • 距离 d 是点 P 到直线的垂直距离
  • 分母 √(A²+B²) 称为法化因子
  • 当 Ax₀+By₀+C = 0 时，点在直线上，d = 0

💡 对称问题

利用距离公式和中点公式求对称点。

  • 点关于直线的对称：利用垂直和中点
  • 对称点与原点到直线距离相等
  • 两对称点的中点在直线上
  • 连线与直线垂直（斜率乘积为−1）

📐 两直线位置关系的判断

用系数判断两直线关系。

  • 相交：A₁B₂ ≠ A₂B₁（有唯一交点）
  • 平行：A₁B₂ = A₂B₁ 且 A₁C₂ ≠ A₂C₁
  • 重合：A₁B₂ = A₂B₁ 且 A₁C₂ = A₂C₁

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
直线 x + y = 2 与 x − y = 0 的交点为？
A(1, 1)
B(2, 0)
C(0, 2)
D(1, 0)
第 2 题★☆☆ 基础
点 (0, 0) 到直线 3x + 4y − 5 = 0 的距离为？
A1
B5
C5/√7
D0
第 3 题★★☆ 巩固
点 (3, 4) 到直线 3x + 4y = 0 的距离为？
A0
B5
C25
D7
第 4 题★★☆ 巩固
两条平行线 2x + y − 1 = 0 与 2x + y + 5 = 0 的距离为？
A4
B6/√5
C6
D2/√5
第 5 题★★★ 拓展
若点 (a, 0) 到直线 4x − 3y + 6 = 0 的距离为 2，则 a = ?
A1
B−4
C1 或 −4
D2 或 −3

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「2.3 直线的交点坐标与距离公式」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 交点坐标 = 方程组的解
② 点到直线距离：d = |Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)
③ 平行线距离：d = |C₁−C₂|/√(A²+B²)
④ 用 A₁B₂ 与 A₂B₁ 判断相交/平行/重合