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第二章 · 第四节
圆的方程
标准方程 · 一般方程 · 互化与应用

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握圆的标准方程及其几何意义
  • 掌握圆的一般方程及其条件
  • 能进行标准方程与一般方程的互化
  • 能根据条件求圆的方程
知识点一：圆的标准方程
⭕ 圆的标准方程
圆心为 C(a, b)，半径为 r 的圆的标准方程为：
(x − a)² + (y − b)² = r²
其中 (a, b) 是圆心坐标，r 是半径（r > 0）。
(a,b)
圆心坐标
确定位置
r
半径
确定大小
r²
右端项
半径的平方
💡 标准方程的特例
  • 圆心在原点：x² + y² = r²
  • 圆心在x轴上：(x−a)² + y² = r²
  • 圆心在y轴上：x² + (y−b)² = r²
  • 单位圆：x² + y² = 1（圆心在原点，半径为1）
知识点二：圆的一般方程
⭕ 圆的一般方程
圆的一般方程为：
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
当 D² + E² − 4F > 0 时表示圆。
圆心为 (−D/2, −E/2)，半径 r = √(D²+E²−4F)/2。
💡 一般方程的条件讨论
  • D²+E²−4F > 0：表示一个圆
  • D²+E²−4F = 0：表示一个点（点圆）
  • D²+E²−4F < 0：不表示任何图形（虚圆）
  • 特征：x²、y² 系数相等且不为0，没有 xy 项
知识点三：标准方程与一般方程互化
🔄 互化方法
标准 → 一般：将 (x−a)²+(y−b)²=r² 展开整理。
例：(x−1)²+(y−2)²=9 → x²+y²−2x−4y−4=0
一般 → 标准：用配方法。
例：x²+y²+2x−4y+1=0 → (x+1)²+(y−2)²=4

🎬 动画讲解

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🧪 互动实验：圆的方程探究

💡 调节圆心 (a, b) 和半径 r，观察圆 (x−a)²+(y−b)²=r² 的变化
⚙️ 圆的参数
标准方程x²+y²=9
圆心(0, 0)
半径3.0
📋 实验结论
圆的标准方程 (x−a)²+(y−b)²=r² 中，(a,b) 决定圆的位置（圆心），r 决定圆的大小（半径）。改变 a、b 圆平移，改变 r 圆缩放。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1化一般方程为标准方程
将圆的一般方程 x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 化为标准方程，并求圆心和半径。
🔍 解题过程
1配方：x²−4x+4 + y²+6y+9 = 3+4+9，即 (x−2)² + (y+3)² = 16。
2圆心：圆心为 (2, −3)。
3半径：r = √16 = 4。
✅ 标准方程 (x−2)²+(y+3)²=16，圆心 (2,−3)，半径 4。
例题 2求圆的方程
已知圆过点 A(1, 2) 和 B(3, 4)，且圆心在直线 y = x 上，求圆的方程。
🔍 解题过程
1设圆心：圆心在 y=x 上，设圆心为 (a, a)，半径为 r。
2列方程：(1−a)²+(2−a)² = (3−a)²+(4−a)²。展开：1−2a+a²+4−4a+a² = 9−6a+a²+16−8a+a²。化简：5−6a = 25−14a，得 8a = 20，a = 2.5。
3求半径：r² = (1−2.5)²+(2−2.5)² = 2.25+0.25 = 2.5。方程为 (x−2.5)²+(y−2.5)² = 2.5。
✅ 圆的方程为 (x−2.5)²+(y−2.5)² = 2.5，即 (x−5/2)²+(y−5/2)² = 5/2。

🚀 拓展提升

🔍 求圆方程的方法

根据不同条件选择合适方法。

  • 已知圆心和半径：直接用标准方程
  • 已知圆上三点：设一般方程，列方程组求 D、E、F
  • 已知圆心和圆上一点：求半径后代入标准方程
  • 待定系数法是最常用的方法

💡 圆的方程特征

判断方程是否表示圆。

  • x²、y² 系数相等且不为0
  • 不含 xy 交叉项
  • D²+E²−4F > 0 时才表示圆
  • 可化为标准方程验证

📐 点与圆的位置关系

用距离判断点与圆的关系。

  • 圆外：|PC| > r
  • 圆上：|PC| = r
  • 圆内：|PC| < r
  • 即比较点到圆心距离与半径大小

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
圆心为 (2, −1)，半径为 3 的圆的标准方程为？
A(x−2)² + (y+1)² = 9
B(x+2)² + (y−1)² = 9
C(x−2)² + (y+1)² = 3
D(x−2)² + (y+1)² = 6
第 2 题★☆☆ 基础
圆 x² + y² = 4 的圆心和半径为？
A圆心(0,0)，半径4
B圆心(0,0)，半径2
C圆心(2,2)，半径2
D圆心(0,0)，半径√2
第 3 题★★☆ 巩固
圆 x² + y² + 2x − 4y + 1 = 0 的圆心为？
A(1, −2)
B(−1, 2)
C(1, 2)
D(−2, 4)
第 4 题★★☆ 巩固
圆 x² + y² − 6x + 8y + 9 = 0 的半径为？
A2
B4
C16
D8
第 5 题★★★ 拓展
过三点 A(0,0)、B(4,0)、C(0,4) 的圆的方程为？
A(x−2)² + (y−2)² = 8
B(x−2)² + (y−2)² = 4
Cx² + y² = 8
D(x−4)² + (y−4)² = 8

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「2.4 圆的方程」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 标准方程：(x−a)²+(y−b)²=r²，圆心(a,b)，半径r
② 一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²−4F>0）
③ 一般→圆心(−D/2,−E/2)，半径√(D²+E²−4F)/2
④ 互化：展开或配方