4.2 等差数列 - 高中数学动画互动课程

第四章 · 第二节

等差数列

公差 · 通项公式 · 性质 · 前n项和

📖 知识点学习

🎯 学习目标

理解等差数列的概念，掌握公差的含义
掌握等差数列的通项公式并能灵活运用
理解等差数列的性质（等差中项、下标和性质）
掌握等差数列前 n 项和公式及其推导（倒序相加法）

知识点一：等差数列的定义

📐 等差数列

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，即 aₙ₊₁ - aₙ = d（常数）对任意 n ∈ N* 成立。

知识点二：通项公式

📝 通项公式

等差数列 {aₙ} 的首项为 a₁，公差为 d，则通项公式为：
aₙ = a₁ + (n - 1)d（n ∈ N*）
推导：aₙ - aₙ₋₁ = d，把 n-1 个差式累加即得 aₙ = a₁ + (n-1)d。

aₙ

通项

a₁+(n-1)d

d

公差

aₙ₊₁-aₙ

aₙ

任意项

aₘ+(n-m)d

知识点三：等差数列的性质

⚖️ 重要性质

① 下标和性质：若 m + n = p + q（m, n, p, q ∈ N*），则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q。
② 等差中项：若 a, b, c 成等差数列，则 2b = a + c，b 称为 a, c 的等差中项。
③ 子列性质：下标成等差数列的子数列仍是等差数列。

知识点四：前 n 项和

Σ 前 n 项和公式

等差数列前 n 项和 Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ，用倒序相加法推导：
Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ 与 Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁ 相加，得 2Sₙ = n(a₁ + aₙ)。
公式一：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2　　公式二：Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2

💡 用法提示

已知 a₁, aₙ, n 时用公式一
已知 a₁, d, n 时用公式二
基本量法：把问题归结为求 a₁ 和 d 两个基本量
Sₙ 是关于 n 的二次函数（缺常数项），可借助二次函数性质

🎬 动画讲解

📢

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🧪 互动实验：等差数列的图象与前n项和

💡 拖动滑块改变首项 a₁ 和公差 d，观察：项的点在同一直线上，公差改变直线的倾斜方向

⚙️ 实验参数

首项 a₁ 2

公差 d 3

通项公式aₙ=2+(n-1)·3

公差 d（每步增量）3

第 10 项 a₁₀29

前 10 项和 S₁₀155

增减性递增

📋 实验结论

等差数列 aₙ = a₁+(n-1)d 的图象是分布在同一条直线上的离散点。d>0 时直线向上倾斜（递增），d<0 时向下倾斜（递减），d=0 时为水平线（常数列）。前 n 项和 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 是关于 n 的二次函数。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程

例题 1求通项与前n项和

等差数列 {aₙ} 中，a₁ = 2，d = 3。求 a₁₀ 与前 10 项和 S₁₀。

🔍 解题过程

1求通项：aₙ = a₁ + (n-1)d = 2 + 3(n-1) = 3n - 1。

2求 a₁₀：a₁₀ = 3×10 - 1 = 29（或 a₁₀ = 2 + 9×3 = 29）。

3求 S₁₀：用公式二 Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 = 10×2 + 10×9×3/2 = 20 + 135 = 155。

✅ a₁₀ = 29，S₁₀ = 155。

例题 2基本量法求未知

等差数列 {aₙ} 中，a₃ = 7，a₇ = 19。求 a₁、d 及 S₁₀。

🔍 解题过程

1列方程组：a₃ = a₁+2d = 7，a₇ = a₁+6d = 19。

2解基本量：两式相减得 4d = 12，d = 3；代入得 a₁ = 7 - 6 = 1。

3求 S₁₀：a₁₀ = 1 + 9×3 = 28，S₁₀ = 10(1+28)/2 = 145。

✅ a₁ = 1，d = 3，S₁₀ = 145。

🚀 拓展提升

🔍 倒序相加法的思想

等差数列中，与首末等距的两项之和相等：a₁+aₙ = a₂+aₙ₋₁ = …。把和式正写一遍、倒写一遍再相加，每对都等于 a₁+aₙ，共 n 对，故 2Sₙ = n(a₁+aₙ)。这是"首末配对"的巧妙方法。

💡 Sₙ 与二次函数

Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2 = (d/2)n² + (a₁ - d/2)n，是关于 n 的二次函数（常数项为 0）。当 d≠0 时其图象是过原点的抛物线上的离散点，可借助二次函数求 Sₙ 的最值。

📐 等差中项的应用

三数成等差常设为 a-d, a, a+d，此时它们的和为 3a，便于计算。等差中项 2b=a+c 是判断三数成等差的常用工具。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答

第 1 题★☆☆ 基础

等差数列 {aₙ} 中，a₁ = 3，d = -2，则 a₅ = ?

A11

B7

C13

D-5

第 2 题★☆☆ 基础

等差数列 2, 5, 8, 11, … 的公差 d = ?

A3

B2

C5

D-3

第 3 题★★☆ 巩固

2 与 8 的等差中项是？

A4

B5

C6

D10

第 4 题★★☆ 巩固

等差数列 {aₙ} 中，a₂ + a₈ = 10，则 a₅ = ?（提示：用下标和性质）

A20

B10

C5

D2.5

第 5 题★★★ 拓展

等差数列 {aₙ} 中，a₁ = 1，d = 2，则 S₁₀ = ?

A110

B100

C19

D55

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！

🎉

课程完成！

恭喜你完成了「4.2 等差数列」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 定义：aₙ₊₁ - aₙ = d（常数）
② 通项：aₙ = a₁ + (n-1)d
③ 性质：m+n=p+q ⇒ aₘ+aₙ = aₚ+aq；2b=a+c
④ 前 n 项和：Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = na₁ + n(n-1)d/2
⑤ 推导方法：倒序相加法