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第五章 · 第二节
导数的运算
基本公式 · 四则运算法则 · 复合函数求导

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 掌握基本初等函数的导数公式
  • 掌握导数的四则运算法则（和、差、积、商）
  • 掌握复合函数的求导法则（链式法则）
  • 能综合运用公式与法则求复杂函数的导数
知识点一：基本初等函数的导数公式
📝 基本公式表
① (C)' = 0（C 为常数）
② (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹（n ∈ Q*，且在相应定义域内）
③ (sin x)' = cos x　　④ (cos x)' = -sin x
⑤ (eˣ)' = eˣ　　⑥ (aˣ)' = aˣ·ln a（a > 0，a ≠ 1）
⑦ (ln x)' = 1/x　　⑧ (logₐx)' = 1/(x·ln a)（a > 0，a ≠ 1，x > 0）
(xⁿ)'
幂函数
n·xⁿ⁻¹
(eˣ)'
指数
eˣ
(lnx)'
对数
1/x
(sinx)'
正弦
cosx
知识点二：导数的四则运算法则
⚖️ 运算法则（u, v 可导）
和差：(u ± v)' = u' ± v'
积：(u·v)' = u'·v + u·v'　（特别地 (C·u)' = C·u'）
商：(u/v)' = (u'·v - u·v') / v²　（v ≠ 0）
💡 易错提醒
  • 积的导数 ≠ 导数的积：(uv)' ≠ u'v'
  • 商的导数注意分子顺序与分母 v²
  • 常数因子可提到导数符号外：(Cu)' = C·u'
知识点三：复合函数的求导法则
🔗 链式法则
若 y = f(u)，u = g(x)，则复合函数 y = f(g(x)) 的导数为：
y' = f'(g(x))·g'(x)，即 y'ₓ = y'ᵤ · u'ₓ。
口诀："由外向内，逐层求导，相乘连接"。

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：幂函数 f(x)=a·xⁿ 的导数

💡 拖动滑块改变系数 a 和指数 n，观察 f(x)（蓝）与其导数 f'(x)=a·n·xⁿ⁻¹（红）的图象关系
⚙️ 实验参数
原函数f(x)=2·x³
导函数f'(x)=6·x²
f'(1)6
f'(2)24
规律(xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹
📋 实验结论
对 f(x)=a·xⁿ，由幂函数导数公式与常数倍法则得 f'(x)=a·n·xⁿ⁻¹。可见导数把幂次降低一级、并把原系数乘以指数 n。对比 f 与 f' 的图象，可直观看到导数描述的是原函数在各点处的变化率（切线斜率）。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1用和差与幂法则求导
求 f(x) = 3x⁴ - 5x² + 2x - 7 的导数 f'(x)。
🔍 解题过程
1逐项求导：用 (xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹ 与 (C)'=0，分别求各项导数。
2计算：(3x⁴)'=12x³；(5x²)'=10x；(2x)'=2；(-7)'=0。
3求和：由和差法则 f'(x)=12x³ - 10x + 2 + 0 = 12x³ - 10x + 2。
✅ f'(x) = 12x³ - 10x + 2。
例题 2用商的法则求导
求 f(x) = (x² + 1) / (x - 1) 的导数 f'(x)。
🔍 解题过程
1设 u, v：设 u=x²+1，v=x-1，则 u'=2x，v'=1。
2套商法则：f'=(u'v - uv')/v² = [2x(x-1) - (x²+1)·1] / (x-1)²。
3化简：分子 = 2x²-2x-x²-1 = x²-2x-1，故 f'(x) = (x²-2x-1)/(x-1)²。
✅ f'(x) = (x² - 2x - 1) / (x - 1)²。

🚀 拓展提升

🔍 复合函数求导举例

求 y = (3x+1)² 的导数。设 u=3x+1，则 y=u²，y'ᵤ=2u，u'ₓ=3。由链式法则 y'ₓ = 2u·3 = 6(3x+1) = 18x+6。也可先展开 y=9x²+6x+1 再求导得 18x+6，结果一致，可作验证。

💡 导数的线性性质

和差法则与常数倍法则合称"线性性质"：[af(x)+bg(x)]' = af'(x)+bg'(x)。这意味着求导是线性运算，可逐项进行，是处理多项式求导的基础。

📐 二阶导数

对 f'(x) 再求一次导得二阶导数 f''(x)。它表示变化率的变化率：位移 s(t) 的一阶导是速度，二阶导 s''(t) 是加速度。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
(x⁵)' = ?
A5x⁴
Bx⁴
C5x⁶
Dx⁶
第 2 题★☆☆ 基础
(eˣ)' = ?
Ax·eˣ⁻¹
Beˣ
C1/x
D0
第 3 题★★☆ 巩固
f(x)=x³+2x²-5，则 f'(x) = ?
A3x² + 4x
B3x² + 2x
Cx² + 4x - 5
D3x² + 4x - 5
第 4 题★★☆ 巩固
设 u=x²，v=x，则 (u·v)' = ?（即 (x³)'）
A2x·1 = 2x
B2x·x + x²·1 = 3x²
Cx³
D3
第 5 题★★★ 拓展
y=(2x+1)³，由链式法则，y' = ?
A3(2x+1)²
B6(2x+1)²
C(2x+1)²
D3(2x+1)

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「5.2 导数的运算」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 基本公式：(xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹，(sinx)'=cosx，(eˣ)'=eˣ，(lnx)'=1/x
② 和差：(u±v)'=u'±v'；积：(uv)'=u'v+uv'；商：(u/v)'=(u'v-uv')/v²
③ 链式法则：[f(g(x))]'=f'(g(x))·g'(x)
④ 线性性质：[af+bg]'=af'+bg'
⑤ 求导策略：先化简，再选用合适法则