🧪 互动实验：探究 f(x)=x³-3ax 的单调性与极值
💡 拖动滑块改变参数 a（a>0），观察 f(x)（蓝）与 f'(x)（红虚）的图象，以及极值的变化
原函数f(x)=x³-3·1·x
导函数f'(x)=3x²-3
临界点x=±1
极大值2
极小值-2
单调性增→减→增
📋 实验结论
f(x)=x³-3ax 的导数 f'(x)=3x²-3a，令 f'(x)=0 得临界点 x=±√a。在 (-∞,-√a) 上 f'>0 递增，(-√a,√a) 上 f'<0 递减，(√a,+∞) 上 f'>0 递增。x=-√a 处导数由正变负为极大值点，极大值为 2a√a；x=√a 处导数由负变正为极小值点，极小值为 -2a√a。改变 a 只改变极值的大小和位置，不改变"增→减→增"的总体趋势。
📝 例题精讲
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求函数 f(x) = x³ - 3x 的单调区间与极值。
🔍 解题过程
1求导：f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x+1)(x-1)。
2求临界点：令 f'(x) = 0，得 x₁ = -1，x₂ = 1。两个临界点将定义域分为三个区间。
3判别符号：x < -1 时 f' > 0（递增）；-1 < x < 1 时 f' < 0（递减）；x > 1 时 f' > 0（递增）。
4求极值：x = -1 处导数由正变负 → 极大值 f(-1) = -1+3 = 2；x = 1 处导数由负变正 → 极小值 f(1) = 1-3 = -2。
✅ 单调递增区间：(-∞,-1) 和 (1,+∞)；单调递减区间：(-1,1)。极大值 f(-1)=2，极小值 f(1)=-2。
求函数 f(x) = x³ - 12x + 8 在闭区间 [-3, 3] 上的最大值和最小值。
🔍 解题过程
1求导找临界点：f'(x) = 3x² - 12 = 3(x² - 4) = 3(x+2)(x-2)。令 f'(x)=0 得 x=-2 和 x=2，均在 [-3,3] 内。
2求极值：x=-2 处导数由正变负 → 极大值 f(-2)=-8+24+8=24；x=2 处导数由负变正 → 极小值 f(2)=8-24+8=-8。
3求端点值：f(-3) = -27+36+8 = 17；f(3) = 27-36+8 = -1。
4比较得最值：比较 24, -8, 17, -1 四个值，最大值为 24（在 x=-2 处取到），最小值为 -8（在 x=2 处取到）。
✅ 最大值为 f(-2) = 24，最小值为 f(2) = -8。
✏️ 练习巩固
💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
若在区间 I 上 f'(x) > 0 恒成立，则 f(x) 在 I 上
f(x) = x²，f'(x) = 2x。已知 f'(0) = 0，且 x < 0 时 f' < 0，x > 0 时 f' > 0，则 x = 0 是
函数 f(x) = x³ - 3x 的单调递减区间为
A(-∞, -1)
B(-1, 1)
C(1, +∞)
D(-∞, +∞)
求函数在闭区间 [a, b] 上的最大值和最小值时，需要比较哪些值？
A仅极值
B仅端点值
C极值与端点值
D仅导数为 0 的点
🧠 知识点问答
老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉
课程完成！
恭喜你完成了「5.3 导数在研究函数中的应用」的学习！
📌 本节核心要点回顾：
① f'(x)>0 递增，f'(x)<0 递减
② 极值点：f'(x₀)=0 且左右导数变号
③ +→− 极大值，−→+ 极小值
④ f'(x₀)=0 是极值的必要非充分条件
⑤ 闭区间最值 = 比较所有极值与端点值