🧪 互动实验：开顶盒子的最大体积
💡 边长 20cm 的正方形纸板，四角截去边长 x 的小正方形，折成开顶盒子。拖动滑块改变 x，观察体积变化
盒子尺寸13.0×13.0×3.5
当前体积 V(x)591.5
导数 V'(x)-13.0
最优 x10/3≈3.33
最大体积592.6
📋 实验结论
V(x) = x(20-2x)²，定义域 0 < x < 10。V'(x) = (20-2x)(20-6x) = 0 得 x = 10/3（x=10 不在定义域内）。当 0 < x < 10/3 时 V' > 0（递增），10/3 < x < 10 时 V' < 0（递减），故 x = 10/3 处取最大值 V(10/3) = 16000/27 ≈ 592.6 cm³。此时盒子尺寸为 (40/3)×(40/3)×(10/3) cm。
📝 例题精讲
💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
已知矩形的周长为 24，求矩形面积的最大值，并求此时矩形的长和宽。
🔍 解题过程
1设变量建函数：设矩形一边长为 x（0 < x < 12），则另一边长为 12 - x。面积 A(x) = x(12 - x) = 12x - x²。
2求导：A'(x) = 12 - 2x。
3求临界点：令 A'(x) = 0，得 12 - 2x = 0，x = 6。x = 6 在定义域 (0, 12) 内。
4判别最值：0 < x < 6 时 A' > 0（递增），6 < x < 12 时 A' < 0（递减），故 x = 6 处取最大值。A(6) = 6 × 6 = 36。此时另一边 = 12 - 6 = 6，为正方形。
✅ 面积最大值为 36，此时矩形长和宽均为 6（正方形）。
一张边长为 20 cm 的正方形纸板，在四个角各截去一个相同的小正方形，然后把四周折起，做成一个无盖的盒子。问截去的小正方形边长为多少时，盒子的体积最大？最大体积是多少？
🔍 解题过程
1设变量建函数：设截去的小正方形边长为 x cm（0 < x < 10），则盒子底面边长为 (20-2x) cm，高为 x cm。体积 V(x) = x(20-2x)²。
2求导：由积法则 V'(x) = (20-2x)² + x·2(20-2x)·(-2) = (20-2x)[(20-2x) - 4x] = (20-2x)(20-6x)。
3求临界点：令 V'(x) = 0，得 x = 10 或 x = 10/3。x = 10 不在定义域 (0,10) 内，舍去。x = 10/3 在定义域内。
4判别最值：0 < x < 10/3 时 V' > 0（递增），10/3 < x < 10 时 V' < 0（递减），故 x = 10/3 处取最大值。V(10/3) = (10/3)×(40/3)² = 16000/27 ≈ 592.6 cm³。
✅ 截去的小正方形边长为 10/3 cm ≈ 3.33 cm 时，盒子体积最大，最大体积为 16000/27 ≈ 592.6 cm³。
✏️ 练习巩固
💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
V(x) = x(20-2x)²，则 V'(x) =
A(20-2x)²
B(20-2x)(20-6x)
C2x(20-2x)
Dx²(20-2x)
在实际优化问题中，若目标函数在定义域内只有一个极值点，则该极值
A一定不是最值
B即为所求最值
C还需与端点比较
D无法判断
🧠 知识点问答
老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉
课程完成！
恭喜你完成了「5.4 生活中的优化问题举例」的学习！
📌 本节核心要点回顾：
① 优化问题：用料最省、面积最大、利润最大等
② 五步法：设变量→建函数→定定义域→求导找极值→确定最值
③ 定义域必须由实际意义确定
④ 只有一个极值点时，该极值即为最值
⑤ V(x)=x(20-2x)² 的最大值在 x=10/3 处取到