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第六章 · 第二节
排列与组合
排列数 · 组合数 · 排列与组合的关系

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解排列与组合的概念，能区分排列与组合问题
  • 掌握排列数公式 A(n,m) 与组合数公式 C(n,m)
  • 理解组合数的性质：C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)
  • 能解决排列与组合的简单应用问题
知识点一：排列的概念与排列数
📐 排列
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数：所有不同排列的个数，记作 A(n,m)（或 Aₙᵐ）。
✏️ 排列数公式
A(n,m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) = n! / (n-m)!
特别地，全排列 A(n,n) = n! = n(n-1)(n-2)...2·1
规定 0! = 1
知识点二：组合的概念与组合数
📦 组合
从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数：所有不同组合的个数，记作 C(n,m)（或 Cₙᵐ）。
✏️ 组合数公式
C(n,m) = A(n,m) / A(m,m) = n! / [m!(n-m)!]
规定：C(n,0) = 1，C(n,n) = 1
知识点三：排列与组合的区别
A(n,m)
排列数
与顺序有关
C(n,m)
组合数
与顺序无关
A=C×m!
关系
排列=组合×全排列
知识点四：组合数的性质
⚖️ 两条重要性质
① 对称性：C(n,m) = C(n,n-m)
② 递推公式：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)
这两条性质是推导二项式定理和杨辉三角的基础。
💡 排列与组合的判断
  • 交换两个元素的位置，结果不同 → 排列
  • 交换两个元素的位置，结果相同 → 组合
  • "排队""排名""号码"→ 排列；"分组""选取""抽样"→ 组合

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：排列组合计算器

💡 调节 n 和 m，观察排列数 A(n,m) 与组合数 C(n,m) 的变化及关系
⚙️ 实验参数
排列数 A(n,m)60
组合数 C(n,m)10
m! (全排列)6
关系验证10×6=60 ✓
📋 实验结论
排列数 A(n,m) = 组合数 C(n,m) × m!。排列与顺序有关（有序），组合与顺序无关（无序）。这是排列与组合最本质的区别。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1排列问题
5人排成一排照相，共有多少种不同的排法？
🔍 解题过程
1分析：5人排成一排，位置有先后之分，与顺序有关，属于排列问题。
2计算：这是全排列，A(5,5) = 5! = 5×4×3×2×1。
3结论：A(5,5) = 120 种不同排法。
✅ 共有 120 种不同排法。
例题 2组合问题
从5名学生中选3人参加数学竞赛，有多少种不同选法？
🔍 解题过程
1分析：选3人参赛，与选出顺序无关，属于组合问题。
2计算：C(5,3) = 5! / [3!(5-3)!] = 5! / (3!×2!) = 120 / (6×2) = 10。
3验证：利用性质 C(5,3) = C(5,2) = 10，结果一致。
✅ 共有 10 种不同选法。

🚀 拓展提升

🔍 排列与组合的关系

排列可以分两步完成：先选后排。即先从n个中选m个（组合），再对选出的m个全排列。

  • A(n,m) = C(n,m) × A(m,m) = C(n,m) × m!
  • 因此 C(n,m) = A(n,m) / m!
  • 这是排列与组合之间最核心的关系

💡 组合数的性质及应用

性质①：C(n,m) = C(n,n-m)，当m > n/2时可用此性质简化计算。

性质②：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，这是杨辉三角的递推关系，也是二项式定理的基础。

📐 阶乘运算技巧

  • 0! = 1（规定）
  • n! = n × (n-1)!
  • 计算 C(n,m) 时，分子分母可约分简化
  • 如 C(6,2) = 6×5 / (2×1) = 15

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
A(5,2) 的值是多少？
A10
B20
C25
D5
第 2 题★☆☆ 基础
C(6,2) 的值是多少？
A15
B30
C12
D36
第 3 题★★☆ 巩固
下列问题中属于组合问题的是？
A5人排成一排照相
B从5人中选3人参加活动
C用3个数字组成三位数
D4人比赛排名次
第 4 题★★☆ 巩固
已知 C(n,2) = 15，则 n = ?
A4
B5
C6
D7
第 5 题★★★ 拓展
利用组合数性质，C(10,8) = ?
A90
B56
C80
D45
第 6 题★☆☆ 基础
5名同学排成一排合影，共有多少种不同的排法？
A60
B120
C24
D20

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「6.2 排列与组合」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 排列：与顺序有关，A(n,m) = n!/(n-m)!
② 组合：与顺序无关，C(n,m) = n!/[m!(n-m)!]
③ 关系：A(n,m) = C(n,m) × m!
④ 性质：C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)