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第七章 · 第一节
离散型随机变量及其分布列
随机变量 · 分布列 · 两点分布

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解随机变量和离散型随机变量的概念
  • 掌握离散型随机变量分布列的概念和性质
  • 了解两点分布及其特征
  • 能根据实际问题求离散型随机变量的分布列
知识点一：随机变量
🎲 随机变量
在随机试验中，如果试验的结果可以用一个变量来表示，并且这个变量取不同的值对应不同的试验结果，那么这个变量称为随机变量，通常用大写字母 X, Y, Z 等表示。
📊 离散型随机变量
如果随机变量 X 的所有可能取值可以一一列举出来（即取值为有限个或可数无限个），则称 X 为离散型随机变量。
例如：掷骰子点数（1~6）、射击命中次数（0,1,2,...,n）。
知识点二：分布列
📋 分布列
设离散型随机变量 X 的可能取值为 x₁, x₂, ..., xₙ，X 取每个值的概率为 P(X=xᵢ) = pᵢ，则称以下表格为 X 的分布列：
Xx₁x₂...xₙ
Pp₁p₂...pₙ
⚖️ 分布列的性质
① 非负性：pᵢ ≥ 0 （i = 1, 2, ..., n）
② 归一性：p₁ + p₂ + ... + pₙ = 1
这两条性质是判断一个表格是否为分布列的依据。
知识点三：两点分布
📈 两点分布（0-1分布）
若随机变量 X 只取两个值 0 和 1，且 P(X=1) = p，P(X=0) = 1-p，则称 X 服从两点分布。
两点分布是最简单的离散型分布，常用于描述"成功/失败"型试验。
pᵢ≥0
非负性
每个概率≥0
Σpᵢ=1
归一性
概率之和=1
0-1
两点分布
P(X=1)=p

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：分布列模拟器

💡 调节各取值的概率，观察柱状图变化，验证概率之和是否为1
⚙️ 概率调节
概率之和1.00
是否为分布列是 ✓
📋 实验结论
分布列必须满足两个条件：①每个概率非负；②所有概率之和为1。当概率之和≠1时，不能构成合法的分布列。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1求分布列
掷一枚均匀骰子，设 X 为掷出的点数，求 X 的分布列。
🔍 解题过程
1分析：X 的可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6。骰子均匀，每个点数等可能。
2计算概率：P(X=k) = 1/6 （k=1,2,...,6）。
3验证：6 × (1/6) = 1，满足归一性。分布列：X取1~6，各P=1/6。
✅ X的分布列：P(X=k)=1/6, k=1,2,...,6。这是离散型均匀分布。
例题 2两点分布
一批产品中次品率为0.1，从中随机取1件，用 X 表示取到的次品数，求 X 的分布列。
🔍 解题过程
1分析：X 只取 0（正品）和 1（次品），服从两点分布。
2计算：P(X=1) = 0.1（次品率），P(X=0) = 1 - 0.1 = 0.9（正品率）。
3验证：0.1 + 0.9 = 1，满足归一性。
✅ X~两点分布：P(X=0)=0.9, P(X=1)=0.1。

🚀 拓展提升

🔍 随机变量与函数的类比

随机变量是样本空间到实数集的映射，可以类比为一种"函数"：每个试验结果（样本点）对应一个实数值。

  • 函数：x → f(x)
  • 随机变量：试验结果 → X（实数值）
  • 不同之处：函数的定义域是数集，随机变量的定义域是样本空间

💡 分布列的直观表示

分布列可以用柱状图直观表示：横轴为取值，纵轴为概率，柱子高度代表概率大小。

  • 柱子高度之和为1
  • 柱子越高，该取值的概率越大
  • 直观比较各取值概率的大小

📐 从两点分布到二项分布

两点分布是最简单的离散分布。如果独立重复n次两点分布试验，记录成功的次数，就得到二项分布 B(n,p)，这是下一节的内容。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题★☆☆ 基础
下列哪个是离散型随机变量？
A某人的身高
B掷骰子的点数
C灯泡的使用寿命
D某地区的降雨量
第 2 题★☆☆ 基础
分布列必须满足的条件是？
A每个pᵢ > 0 且和为1
B每个pᵢ ≥ 0 且和为1
C每个pᵢ ≤ 1 且和为0
D每个pᵢ > 0 且和为0
第 3 题★★☆ 巩固
已知 P(X=0)=0.3, P(X=1)=0.5, P(X=2)=p，则 p = ?
A0.2
B0.3
C0.5
D0.8
第 4 题★★☆ 巩固
两点分布中 P(X=1)=p，则 P(X=0) = ?
Ap
B1-p
C0
Dp/2
第 5 题★★★ 拓展
掷两枚均匀骰子，设 X 为两枚点数之和，则 P(X=7) = ?
A1/12
B1/9
C1/6
D1/4
第 6 题★☆☆ 基础
离散型随机变量的分布列中，所有概率之和等于多少？
A0
B1
C∞
D不确定

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
🎉

课程完成！

恭喜你完成了「7.1 离散型随机变量及其分布列」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 随机变量：试验结果用变量表示
② 离散型随机变量：取值可一一列举
③ 分布列性质：pᵢ≥0，Σpᵢ=1
④ 两点分布：P(X=1)=p，P(X=0)=1-p