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第二章 · 第二节
单摆
单摆模型 · 等时性 · 周期公式 · 测重力加速度

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解单摆的模型及做简谐运动的条件
  • 掌握单摆周期公式 T = 2π√(L/g)
  • 理解单摆的等时性及其影响因素
  • 了解用单摆测定重力加速度的原理
知识点一：单摆模型
⚡ 单摆的定义
单摆：在一根不可伸长、质量可忽略的细线下端系一个小球，就构成单摆。
平衡位置：摆球静止时所在的位置（竖直方向最低点）。
回复力：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力 F = mg·sinθ，它使摆球回到平衡位置。
💡 单摆做简谐运动的条件
当摆角 θ 很小（一般 θ < 5°）时，sinθ ≈ θ（弧度），回复力 F = mg·sinθ ≈ mg·(x/L) = −(mg/L)·x，即回复力与位移成正比、方向相反。此时单摆的振动可看作简谐运动。
注意：摆角较大时单摆不再是严格的简谐运动，周期公式不再严格成立。
知识点二：单摆的周期公式
📐 周期公式
单摆做简谐运动的周期：T = 2π√(L/g)
其中 L 为摆长（悬点到摆球质心的距离），g 为当地重力加速度。
单摆周期
T
T = 2π√(L/g)
单位：s
回复力
F
F ≈ −(mg/L)x
切向
💡 影响周期的因素
  • 与摆长有关：L 越长，周期 T 越大（T ∝ √L）
  • 与重力加速度有关：g 越大，周期 T 越小（T ∝ 1/√g）。高山顶上 g 较小，周期较大
  • 与振幅无关：等时性（在摆角很小的前提下）
  • 与摆球质量无关：周期与质量 m 无关
知识点三：用单摆测重力加速度
🧪 实验原理
由周期公式变形得 g = 4π²L/T²。测出摆长 L 和周期 T，即可算出当地重力加速度 g。
实验中应多次测量取平均值，测周期时为减小误差应测 n 次全振动总时间再除以 n（一般取 30~50 次）。

🎬 动画讲解

📢
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🧪 互动实验：单摆周期探究

💡 拖动滑块改变摆长，观察单摆周期 T 的变化；改变振幅与质量看周期是否改变
⚙️ 实验参数
周期 T 2.01 s
频率 f 0.50 Hz
推算 g 9.80 m/s²
📋 实验结论
单摆周期 T = 2π√(L/g)，与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成反比。 改变振幅（小角度内）和摆球质量，周期不变——这就是单摆的等时性。由 g = 4π²L/T² 可测定当地重力加速度。

📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 单摆周期计算
一个单摆的摆长 L = 0.99 m，当地重力加速度 g = 9.8 m/s²，求该单摆的周期 T。（π² ≈ 9.87）
🔍 解题过程
1 确定公式：单摆周期 T = 2π√(L/g)。
2 代入数据：L/g = 0.99m/(9.8m/s²) ≈ 0.1010s²，√(L/g) ≈ 0.318s，T = 2π × 0.318s。
3 计算结果：T ≈ 6.28 × 0.318s ≈ 2.00 s。
✅ 该单摆周期约为 2.00 s。这是著名的"秒摆"（半周期 1 s）。注意周期只与 L、g 有关。
例题 2 用单摆测重力加速度
测得单摆摆长 L = 1.00 m，完成 30 次全振动用时 60.3 s，求当地的重力加速度 g。
🔍 解题过程
1 求周期：T = t/n = 60.3s/30 = 2.01 s。
2 用公式变形：由 T = 2π√(L/g) 得 g = 4π²L/T²。
3 代入求解：g = 4π² × 1.00m / (2.01s)² ≈ 39.48m / 4.04s² ≈ 9.77 m/s²。
✅ 当地重力加速度约为 9.77 m/s²。为减小误差，应多次测量取平均值，并使摆角小于 5°。

🚀 拓展提升

📜 伽利略与单摆

传说伽利略在比萨大教堂观察吊灯的摆动，用自己的脉搏计时，发现吊灯每次摆动的时间相同——这就是单摆的等时性。这一发现奠定了摆钟的基础。后来惠更斯制成了第一座实用的摆钟。

🔍 等时性的意义

单摆的周期只与摆长和重力加速度有关，与振幅、质量无关（小摆角下）。这一等时性使单摆成为精密计时工具。摆钟通过调节摆长来校准时间——这正是"对钟"的原理。

⚙️ 单摆周期的应用

由于 T ∝ 1/√g，单摆可用于探测重力异常：地下有密度大的矿体时 g 偏大，单摆周期变小，由此可勘探矿藏。登山者在山顶与山脚测单摆周期，可推算高度变化引起的 g 变化。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
单摆做简谐运动的条件是？
A摆角任意大小都可
B摆角很小（一般小于5°）
C摆角必须大于30°
D摆球质量必须很小
第 2 题 ★☆☆ 基础
单摆的周期公式为？
AT = 2π√(m/k)
BT = 2π√(L/g)
CT = 2π√(g/L)
DT = L/g
第 3 题 ★★☆ 巩固
关于单摆周期，下列说法正确的是？
A摆球质量越大周期越大
B周期与摆长、重力加速度有关，与质量、振幅无关
C振幅越大周期越大
D摆球质量越大周期越小
第 4 题 ★★☆ 巩固
把单摆从地球带到月球（g变小），关于其周期变化，下列正确的是？
A周期变大
B周期变小
C周期不变
D无法判断
第 5 题 ★★★ 拓展
单摆摆长 L=0.99 m，g=9.8 m/s²，周期 T 约为多少 s？（π取3.14，结果保留两位小数）

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「单摆」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 单摆做简谐运动的条件：摆角很小（<5°）
② 回复力为重力沿切线的分力 F≈−(mg/L)x
③ 周期 T=2π√(L/g)
④ 周期与摆长、g有关，与质量、振幅无关（等时性）
⑤ 测 g 公式：g=4π²L/T²