📖 知识点学习
🎯 学习目标
- 掌握列方程解应用题的一般步骤
- 能分析行程、工程、利润、分配等常见类型的实际问题
- 培养数学建模能力，能从实际问题中抽象出方程
知识点一：列方程解应用题的步骤
用一元一次方程解决实际问题，通常按以下五个步骤进行：
- 审题 —— 弄清题意，找出已知量和未知量，以及它们之间的关系
- 设未知数 —— 用字母（如x）表示未知量，可根据需要直接设或间接设
- 列方程 —— 找到题目中的等量关系，根据等量关系列出方程
- 解方程 —— 运用去分母、去括号、移项等方法求出未知数的值
- 检验作答 —— 检验解是否符合题意和实际意义，写出答案
知识点二：常见类型及等量关系
不同类型的实际问题有不同的等量关系，掌握这些基本关系是列方程的关键：
| 问题类型 |
基本等量关系 |
说明 |
| 行程问题 |
路程 = 速度 × 时间 |
相遇：路程和=总距离；追及：路程差=初始距离 |
| 工程问题 |
工作总量 = 工作效率 × 工作时间 |
通常把总工程量看作1，效率=1/天数 |
| 利润问题 |
利润 = 售价 − 进价
利润率 = 利润/进价 × 100% |
售价 = 进价 × (1 + 利润率) |
| 分配问题 |
总量 = 各部分之和 |
找出分配前后总量的等量关系 |
💡 重要提示
- 找等量关系是列方程的关键！可以用列表法或画图法帮助分析
- 设未知数时，通常设所求的量为x；如果有多个未知量，设其中一个为x，用x表示其他量
- 解出方程后一定要检验：既要检验是否是方程的解，也要检验是否符合实际意义
- 注意单位统一！速度、时间、路程的单位要对应
📝 例题精讲
💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程。关键是找等量关系
甲乙两地相距300千米，一辆汽车以60千米/时的速度从甲地出发，几小时后到达乙地？
🔍 解题过程
1
设未知数、列方程：等量关系：速度 × 时间 = 路程
设x小时后到达乙地，则
60x = 300
2
解方程：系数化为1，两边同除以60
x = 300 ÷ 60
x = 5
3
检验作答：检验：60 × 5 = 300（千米），与题意相符，且时间为正数，符合实际意义
答：汽车5小时后到达乙地。
✅ 设x小时后到达，列方程 60x = 300，解得 x = 5。答：5小时后到达乙地。
某商品进价200元，标价300元，打八折出售，求利润率。
🔍 解题过程
1
求售价和利润：打八折 = 标价 × 0.8
售价 = 300 × 0.8 = 240（元）
利润 = 售价 − 进价 = 240 − 200 = 40（元）
2
计算利润率：利润率 = 利润/进价 × 100%
利润率 = 40/200 × 100%
= 0.2 × 100%
3
写出结果：
利润率 = 20%
检验：200 × (1 + 20%) = 200 × 1.2 = 240 = 售价，结果正确。
✅ 售价 = 300×0.8 = 240元，利润 = 240−200 = 40元，利润率 = 40/200×100% = 20%。
一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作几天完成？
🔍 解题过程
1
设未知数、确定效率：把总工程量看作1
甲的效率 = 1/10（每天完成工程的十分之一）
乙的效率 = 1/15（每天完成工程的十五分之一）
设两人合作x天完成
2
列方程、解方程：等量关系：甲完成量 + 乙完成量 = 总工程量1
(1/10 + 1/15)x = 1
通分：1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6
(1/6)x = 1 → x = 6
3
检验作答：检验：甲6天完成 6/10 = 3/5，乙6天完成 6/15 = 2/5，合计 3/5 + 2/5 = 1，符合题意
答：两人合作6天完成。
✅ 设合作x天完成，列方程 (1/10+1/15)x=1，即(1/6)x=1，解得 x=6。答：合作6天完成。
✏️ 练习巩固
💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
小明以5千米/时的速度步行，走完全程15千米需要几小时？
🧠 知识点问答
老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！