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第二十四章 · 第二节
点和圆、直线和圆的位置关系
用距离与半径的大小关系判断位置

📖 知识点学习

🎯 学习目标

  • 理解点与圆的三种位置关系，能用 d 与 r 的大小判断
  • 理解直线与圆的三种位置关系，能用 d 与 r 的大小判断
  • 掌握切线的判定定理和性质定理
  • 掌握切线长定理，能进行相关计算
知识点一：点与圆的位置关系
📍 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d
① 点在圆外 ⟺ d > r
② 点在圆上 ⟺ d = r
③ 点在圆内 ⟺ d < r
知识点二：直线与圆的位置关系
位置关系圆心到直线距离 d 与半径 r交点个数说明
相离d > r0 个直线与圆没有公共点
相切d = r1 个（切点）直线叫切线
相交d < r2 个直线叫割线
知识点三：切线的判定定理
📏 切线的判定
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
即：若直线 l 经过半径 OA 的外端点 A，且 l ⊥ OA，则 l 是 ⊙O 的切线。
知识点四：切线的性质定理
📐 切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径。
即：若 l 是 ⊙O 的切线，A 为切点，则 l ⊥ OA。
知识点五：切线长定理
🔗 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：PA、PB 是切线 ⟹ PA = PB，且 ∠APO = ∠BPO。
PA = PB（切线长相等），∠APO = ∠BPO（OP 平分角）
P 为圆外一点，A、B 为切点，O 为圆心

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📝 例题精讲

💡 提示：点击「下一步」按钮，逐步查看详细解题过程
例题 1 判断点与圆的位置关系
已知 ⊙O 的半径 r = 5，点 P 到圆心 O 的距离 OP = 7，判断点 P 与 ⊙O 的位置关系。
r = 5，OP = 7，判断 P 的位置
🔍 解题过程
1 比较 d 与 r：点 P 到圆心的距离 d = OP = 7，圆的半径 r = 5。
2 判断：因为 d = 7 > r = 5，所以点 P 在圆外。
3 总结：判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小：d > r 在圆外，d = r 在圆上，d < r 在圆内。
✅ 因为 OP = 7 > r = 5，所以点 P 在 ⊙O 外
例题 2 证明直线是圆的切线
在 ⊙O 中，OA 是半径，直线 l 经过点 A，且 l ⊥ OA。证明：l 是 ⊙O 的切线。
OA 为半径，l 过 A 且 l ⊥ OA
🔍 解题过程
1 分析条件：OA 是半径，A 是半径的外端点（A 在圆上）。直线 l 经过点 A，且 l ⊥ OA。
2 应用判定定理：由切线的判定定理，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3 结论：l 满足"经过半径 OA 外端 A"且"l ⊥ OA"两个条件，所以 l 是 ⊙O 的切线，A 为切点。
✅ l 经过半径外端 A 且 l ⊥ OA，由切线判定定理知 l 是切线
例题 3 利用切线长定理求角度
P 是 ⊙O 外一点，PA、PB 是 ⊙O 的切线，A、B 为切点，∠APB = 60°。求 ∠AOB 的度数。
PA、PB 为切线，∠APB = 60°，求 ∠AOB
🔍 解题过程
1 应用切线性质：PA、PB 是切线，由切线性质定理，OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，即 ∠OAP = ∠OBP = 90°。
2 四边形内角和：四边形 OAPB 中，∠OAP + ∠APB + ∠PBO + ∠AOB = 360°，即 90° + 60° + 90° + ∠AOB = 360°。
3 求解：∠AOB = 360° − 240° = 120°。
✅ ∠AOB = 120°

🚀 拓展提升

📐 三角形的内切圆

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点。

内切圆半径 r = 面积 S ÷ 半周长 (s/2)，即 r = 2S / (a+b+c)

内心到三角形三边的距离相等，都等于内切圆半径。对于直角三角形，内切圆半径 r = (a + b − c) / 2，其中 c 为斜边。

🔗 切线长定理的深入应用

切线长定理不仅是 PA = PB，还蕴含着丰富的几何关系：

① OP 平分 ∠APB（切线长定理的角平分线性质）；
② OP 垂直平分 AB（等腰三角形 OAB 的性质）；
③ △OAP ≅ △OBP（HL 或 AAS）；
④ 四边形 OAPB 有一个对称轴 OP。

PA = PB，OP 平分 ∠APB，OP ⊥ AB

🔄 切线的判定方法总结

证明一条直线是圆的切线，常用以下三种方法：

① 定义法：直线与圆只有一个公共点；
② 判定定理（最常用）：经过半径外端且垂直于该半径；
③ 数量关系：圆心到直线的距离 d 等于半径 r。
其中方法②需要"过端点"和"垂直"两个条件，方法③需要先求距离再比较。

✏️ 练习巩固

💡 提示：每道题作答后会立即显示解析，请认真思考后再作答
第 1 题 ★☆☆ 基础
已知 ⊙O 的半径为 3，点 P 到圆心 O 的距离为 2，则点 P 与 ⊙O 的位置关系是？
A点 P 在圆外
B点 P 在圆内
C点 P 在圆上
D无法确定
第 2 题 ★☆☆ 基础
圆心 O 到直线 l 的距离 d = 4，⊙O 的半径 r = 4，则直线 l 与 ⊙O 的位置关系是？
A相离
B相切
C相交
D无法确定
第 3 题 ★★☆ 巩固
经过半径的外端，并且______于这条半径的直线是圆的切线。请在空格处填入恰当的词。
第 4 题 ★★☆ 巩固
P 是 ⊙O 外一点，PA、PB 是 ⊙O 的切线，A、B 为切点，若 PA = 6，则 PB = ?
A3
B6
C12
D无法确定
第 5 题 ★★★ 拓展
P 是 ⊙O 外一点，PA、PB 切 ⊙O 于 A、B，∠APB = 50°，则 ∠AOB = ______ 度。

🧠 知识点问答

老师来考考你！下面的问题都来自本节课的知识点，看看你掌握了多少。每次点击"再考一次"题目顺序都会随机打乱哦！
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课程完成！

恭喜你完成了「点和圆、直线和圆的位置关系」的学习！

📌 本节核心要点回顾：
① 点与圆：d>r 在圆外，d=r 在圆上，d ② 直线与圆：d>r 相离，d=r 相切，d ③ 切线判定：过半径外端且垂直于半径
④ 切线性质：切线垂直于过切点的半径
⑤ 切线长定理：PA=PB，OP平分∠APB

✏️ 做练习题